회전체의 부피를 계산하는 공식과 예시

회전 블록이란 무엇인가요? 회전체의 부피를 계산하는 방법은?

회전체는 회전원뿔, 회전원통, 회전구 등과 같이 고정된 축을 중심으로 평면을 회전시켜 만든 모양입니다. 아래는 회전체의 부피를 계산하는 공식입니다. 참고하세요.

목차

• Ox 축을 중심으로 회전한 원형 블록의 부피를 계산하세요.
• Oy 축을 중심으로 회전한 원형 블록의 부피를 계산하세요.
• 회전체의 부피 계산 예

Ox 축을 중심으로 회전한 원형 블록의 부피를 계산하세요.

원형 블록이 Ox 축을 중심으로 회전하는 경우, 다음 공식을 적용하여 회전하는 원형 블록의 부피를 계산할 수 있습니다.

사례 1 : 다음에 의해 생성된 회전 원형 블록:

• 선 y = f(x)
• x축 y=0
• x=a; x=b

그러면 부피를 계산하는 공식은 다음과 같습니다.

사례 2 : 회전 블록은 다음에 의해 생성됩니다.

• 선 y = f(x)
• 선 y = g(x)
• x=a; x=b

그러면 회전체의 부피를 계산하는 공식은 다음과 같습니다.

~와 함께

Oy 축을 중심으로 회전한 원형 블록의 부피를 계산하세요.

원형 블록이 Oy 축을 중심으로 회전하는 경우, 다음 공식을 적용하여 회전하는 원형 블록의 부피를 계산할 수 있습니다.

사례 1 : 회전 블록은 다음에 의해 생성됩니다.

• 선 x=g(y)
• 수직축(x=0)
• y=c; y=d

그러면 회전체의 부피를 계산하는 공식은 다음과 같습니다.

사례 2 : 회전 블록은 다음에 의해 생성됩니다.

• 선 x=f(y)
• 방정식 x=g(y)
• y=c; y=d

그러면 회전체의 부피는 다음과 같습니다.

~와 함께

회전체의 부피를 계산하기 위한 공식 요약표:

1. Ox를 중심으로 회전하는 영역 S에 의해 생성된 Vx:

레시피 :

2. Ox 주위를 회전하는 영역 S에 의해 생성된 Vx:

레시피 :

회전체의 부피 계산 예

예시 1: 

곡선 y = sinx, x축, 두 직선 x=0, x=π(도면)로 제한되는 평면 도형을 Ox축 주위로 회전시켜 얻은 회전체의 부피를 계산합니다.

해결책

위 정리의 공식을 적용하면 다음과 같습니다.

예 2: 

곡선과 x축으로 둘러싸인 평면 도형을 x축을 중심으로 회전시켜 얻은 회전체의 부피를 계산합니다.

상:

우리는 다음을 봅니다:

따라서 모든 x에 대해 이는 중심이 O이고 반지름이 R = A이며 Ox 축 위에 있는 반원의 방정식입니다. Ox 축을 중심으로 회전하면 평평한 모양은 중심이 O이고 반지름이 R = A인 구를 형성합니다(그림). 그래서 우리는 항상

 

따라서 이러한 유형의 문제에서는 적분 공식을 쓸 필요 없이 구의 부피를 계산하는 공식을 바탕으로 결론을 내릴 수 있습니다.

예시 3: 

평면(P)에 의해 Ox 축에 수직인 지점(횡축 x(0≤x≤1))에서 잘린 물체의 단면은 두 변의 길이가 x이고 ln(x2+1)인 직사각형이라는 것을 알고, 두 평면 x = 0과 x = 1 사이에 있는 물체의 부피를 계산합니다.

상: 

단면이 직사각형이므로 단면적은 다음과 같습니다.

우리는 계산할 볼륨을 가지고 있습니다

예제 4: y = 3x 선으로 둘러싸인 평면 도형이 주어졌습니다. y = x; x = 0; x = 1은 Ox 축을 중심으로 회전합니다. 회전체로 생성된 고체의 부피를 계산합니다.

상:

선 x = 1과 y = x, y = 3x의 교점의 좌표는 점 C(1;1)과 B(3;1)입니다. y = 3x 선과 y = x 선의 교차점의 좌표는 O(0;0)입니다.

따라서 계산할 회전 고체의 부피는 다음과 같습니다.

예제 5 : y = 2x2 선으로 둘러싸인 평면 도형이 주어졌습니다. y2 = 4x는 Ox 축을 중심으로 회전합니다. 회전체로 생성된 고체의 부피를 계산합니다.

상:

동등한 시제로. 선과 선의 교차점의 좌표는 점 O(0;0)과 A(1;2)입니다.

따라서 계산할 회전 고체의 부피는 다음과 같습니다.

회전체의 부피를 계산해야 하는 문제의 경우, 각각의 경우에 맞는 올바른 공식을 사용하고, 한계를 결정할 때 주의를 기울이면 문제를 풀 수 있습니다. 행운을 빌어요!