완전제곱수란 무엇인가? 인식하는 방법과 자세한 예

완전제곱수는 정수의 제곱과 같은 수입니다. 이 유형의 숫자를 더 잘 이해하기 위해 아래 기사에서 제곱수의 속성, 인식 및 계산에 대해 알아보겠습니다.

목차

• 완전제곱수란 무엇인가?
  • 제곱수를 식별하는 방법
  • 제곱수의 나누어떨어짐
  • 가장 작은 제곱수
  • 가장 큰 제곱수
  • 두 제곱수의 차이를 계산하는 동일한 상수
  • 제곱수의 특성
• 제곱수
• 완전제곱수의 예
• 제곱수 연습

완전제곱수란 무엇인가?

완전제곱수는 정수의 정확한 제곱과 같은 수입니다. 간단히 말해서, 완전제곱수는 제곱근 또한 자연수인 자연수입니다.

정수에는 양의 정수(1, 2, 3, ...), 음의 정수(-1, -2, -3, ...) 및 0이 포함됩니다. 정수 집합은 Z로 표시합니다.

그러나 제곱수의 제곱근은 자연수, 즉 양의 정수만 가집니다.

예를 들어:

숫자 4는 완전제곱수입니다. 왜냐하면 숫자 2의 제곱이 4이기 때문입니다.

9는 완전제곱수입니다. (9는 3의 제곱과 같기 때문입니다.)

제곱수를 식별하는 방법

1. 마지막 숫자를 보세요 . 완전제곱수의 마지막 숫자는 0, 1, 4, 5, 6, 9입니다. 2, 3, 7, 8로 끝나는 숫자는 완전제곱수라고 하지 않습니다.

2. 마지막 숫자를 보세요. 완전제곱수는 4n 또는 4n + 1의 두 가지 형태 중 하나만 가질 수 있습니다. 완전제곱수는 4n + 2 또는 4n + 3(n € N)의 형태를 가질 수 없습니다.

예를 들어: n = 1이면 제곱수는 4 x n = 4의 형태가 됩니다. 또는 n = 2이면 제곱수는 4 x 2 + 1 = 9의 형태가 됩니다.

4 x 2 + 2 = 10 또는 4 x 2 + 3 = 11과 같은 형태가 될 수 없습니다.

3. 완전제곱수의 십의 자리는 마지막 자리가 1이거나 9일지라도 짝수입니다.

예를 들어: 제곱수 81(9의 제곱).

4. 5로 끝나는 완전제곱수의 십의 자리는 2입니다.

예를 들어: 제곱수 225(15의 제곱)

5. 완전제곱수가 4로 끝나면 십의 자리는 짝수입니다.

예를 들어: 제곱수 64(8의 제곱)

6. 제곱수가 6으로 끝나면 십의 자리는 홀수입니다.

예를 들어: 제곱수 16(4의 제곱)

7. 소수로 인수분해하면 완전제곱수는 지수가 짝수인 소인수만 포함합니다.

예를 들어: 제곱수 16 = 2 x 2 x 2 x 2 = 2 ^ 4.

제곱수의 나누어떨어짐

소수 p로 나누어지는 완전제곱수는 p^2로도 나누어 떨어지고, 그 반대의 경우도 마찬가지입니다.

• 2로 나누어 떨어지는 완전제곱수는 2^2 = 4로 나누어 떨어진다.
• 3으로 나누어 떨어지는 완전제곱수는 3^2 = 9로 나누어 떨어진다.
• 5로 나누어 떨어지는 완전제곱수는 5^2 = 25로 나누어 떨어진다.
• 8로 나누어 떨어지는 완전제곱수(= 2^3)는 2^4 = 16(숫자의 거듭제곱으로 표현)으로도 나누어 떨어진다.
• 제곱수 36(6^2)은 2로 나누어 떨어진다 => 36은 4(2^2)로 나누어 떨어진다
• 제곱수 144(12^2)는 3으로 나누어 떨어진다(144:3=48) => 144는 9로 나누어 떨어진다(144:9=16)

가장 작은 제곱수

완전제곱수 집합에서 가장 작은 완전제곱수는 0입니다. 0에서 100까지의 수 범위에서 100보다 작은 완전제곱수는 10개 있습니다. 여기에는 0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81이 포함됩니다.

가장 큰 제곱수

• 가장 큰 한자리 제곱수는 9입니다.
• 가장 큰 두 자리 제곱수는 81입니다.
• 가장 큰 3자리 제곱수는 312입니다.
• 가장 큰 4자리 제곱수는 9801입니다.
• 가장 큰 5자리 제곱수는 99856입니다.

두 제곱수의 차이를 계산하는 동일한 상수

예를 들어:

제곱수의 특성

• 두 제곱수의 차이를 계산하는 공식: a^2 - b^2 = (ab)(a+b).
• 제곱수가 소수로 나누어 떨어지면, 그 소수의 제곱으로도 나누어 떨어집니다.

예를 들어: 제곱수 18은 3으로 나누어 떨어지므로 3의 제곱인 9로도 나누어 떨어집니다.

제곱수

제곱수에는 2가지 유형이 있습니다.

완전제곱수의 예

숫자 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81,100, ... 는 모두 완전제곱수입니다.

4 = 2² 는 짝수제곱수입니다.

9 = 3² 는 홀수 제곱수입니다.

16 = 4²는 짝수 제곱수입니다.

25 = 5²는 홀수 제곱수입니다.

36 = 6² 는 짝수제곱수입니다.

49 = 7²는 홀수 제곱수입니다.

64 = 8² 는 짝수제곱수입니다.

81 = 9²는 홀수 제곱수입니다.

100 = 10² 는 짝수제곱수입니다.

참고: 숫자 0과 1도 제곱수입니다.

제곱수 연습

수업 1 : 다음 숫자 중에서 완전제곱수는 무엇입니까? 9, 81, 790, 408, 121, 380, 2502, 441, 560.

해결책: 완전제곱수는 9(3²), 81(9²), 121(11²), 441(21²)입니다.

수업 2:  1234567890이 완전제곱수가 아니라는 것을 증명하세요.

해결책: 숫자 1234567890은 5로는 나누어 떨어지지 않습니다(마지막 숫자가 0이기 때문). 하지만 25로는 나누어 떨어지지 않습니다(마지막 두 숫자가 90이기 때문). 따라서 1234567890은 완전제곱수가 아닙니다.

수업 3 : 모든 양의 정수 n에 대해 B = 4n^4 + 4n³ + n²이 완전제곱수임을 증명하세요.

해결책:

B = 4n^4 + 4n³ + n²= n²(4n² + 4n + 1)= n²(2n + 1)²

B는 두 제곱의 곱으로 표현될 수 있음을 알 수 있습니다. 또는 B = [n(2n+1)]²이고 n(2n + 1)은 정수입니다. 따라서 결론은 B는 완전제곱수라는 것입니다.

수업 4: 

다음 숫자가 완전제곱수가 되도록 자연수 n을 구하세요: B = n² + 4n + 1.

해결책:

B는 완전제곱수이므로 n² + 4n + 1 = b²로 설정합니다.

= 4n²+16n+4=4b²

= (4n²+16n+16)-16+4=4b²

= (2n+4)²- 4b² = 12

= (2n+4+2b)x(2n+4-2b)=12

2n+4+2b 2n+4-2b이고, 이것들은 모두 양의 정수입니다. 따라서 우리는 대응하는 숫자 쌍(12, 1), (6, 2) 및 (4, 3)을 찾을 수 있습니다. n과 b를 찾으려면 각각의 경우를 고려해야 합니다. 구체적으로:

• 사례 1: (2n + 4 + 2b) (2n + 4 - 2b) = 12 = 12 x 1 = n = 5/4, b = 11/4
• 사례 2: (2n + 4 + 2b) (2n + 4 - 2b) = 12 = 6 x 2 = n = 0, b = 1
• 사례 3: (2n + 4 + 2b) (2n + 4 - 2b) = 12 = 4 x 3 = n = -1/4, b = 1/4

하지만 n은 자연수이므로 n = 0, b = 1만이 만족스러운 답입니다. 그리고 n = 0이므로 제곱수 B = 1입니다.

위의 글이 여러분에게 완전제곱수가 무엇인지, 0이 완전제곱수인지 여부, 그리고 완전제곱수의 속성과 특징에 대한 유용한 정보를 제공했기를 바랍니다. 그러면 제곱수에 대한 문제와 이슈를 해결하는 데 필요한 지식이 더 많아질 것입니다.

제곱수 외에도 수학에서는 혼합수 , 분수 등 다른 유형의 숫자에 대해서도 배울 수 있습니다 .