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실수란 무엇인가?
실수란 무엇인가? 실수 집합에는 어떤 숫자가 들어있나요? 이 중요한 수학적 지식을 더 잘 이해하려면 아래 기사를 읽어보세요.
실수
1. 실수란 무엇인가?
- 실수는 유리수와 무리수의 집합입니다.
- 집합은 실수로 구성된 실수 집합을 나타내는 기호입니다.
- 유리수는 분수로 표현된 수입니다(a, b ∈ Z, b ≠ 0). 예를 들어
- 유리수 집합은 다음과 같이 표시됩니다.
- 무리수는 무한하고 반복되지 않는 소수입니다. 예를 들어:
- 무리수의 집합은 다음과 같이 표시됩니다.
실수 집합은 숫자선을 포함합니다.
예를 들어:
2. 실수 축
각 실수는 숫자선 위의 점으로 표현됩니다.
- 반대로, 숫자선의 모든 점은 실수를 나타냅니다.
- 숫자선을 채우는 것은 실수의 집합뿐입니다.
3. 실수 비교
방법
- 두 실수 x, y에 대해 항상 x = y 또는 x < y 또는 x > y가 성립합니다.
- 0보다 큰 실수는 양의 실수라고 하고, 1보다 작은 실수는 음의 실수라고 합니다. 숫자 0은 양수나 음수 실수가 아닙니다.
- 양의 실수를 비교하는 것은 유리수를 비교하는 것과 비슷합니다.
- a, b가 두 개의 양의 실수일 때, a > b이면 .
예: 제곱 안에 적절한 숫자를 채우세요:
| 가) -7.5(...)8 > -7.513 | 나) -3.02 <> |
| c) -0.4(...)854 <> | d) -1,(...)0765 <> |
솔루션 가이드
가) -7.5(0)8 > -7.513
나) -3.02 <>
다) -0.4(9)854 <>
d) -1,(9)0765 <>
예: 실수를 가장 작은 것부터 가장 큰 것 순으로 정렬합니다.
솔루션 가이드
실수를 가장 작은 것부터 가장 큰 것 순으로 정렬하세요.
예를 들어: 다음을 증명하세요.
a, b가 두 개의 양의 실수일 때 a > b이면
솔루션 가이드
a > b이면
a, b는 두 개의 양의 실수이므로 a + b > 0입니다.
a > b이면 a – b > 0입니다.
제품을 고려하세요
왜냐하면 a2 – b2 > 0이기 때문입니다.
=> a2 > b2 => dpcm
3. 실수 집합의 속성
집합에서 우리는 또한 덧셈, 뺄셈, 곱셈, 나눗셈, 지수, 제곱근 등의 연산을 정의합니다. 그리고 연산에서 실수는 유리수 집합의 연산과 동일한 속성을 갖습니다.
실수 집합에서 연산은 곱셈에 대해 다음과 같은 속성을 갖습니다.
- 모든 속성에 대해:
- 0을 추가하세요:
- 교환법칙: ;
- 결합된 속성:
- 교환법칙: a. b = b. 에이
- 연관 속성: (a. b). c = a. (기원전 1000년경)
- 숫자 1을 곱하는 것의 속성:
- 덧셈에 대한 곱셈의 분배법칙: a. (b + c) = a. b + a. 기음
- 모든 실수 a ≠ 0에 대해 다음과 같은 역수가 존재합니다.
- 즉, 위의 계산 역시 다른 숫자 집합과 마찬가지로 교환법칙과 결합법칙을 갖습니다. 뺄셈, 곱셈, 나눗셈도 마찬가지입니다.
숫자 집합 간의 관계
예를 들어: 계산을 수행합니다.
솔루션 가이드
예를 들어: 다음을 알고 x를 구하세요.
솔루션 가이드
4. 실수의 절댓값
정의: 수직선 상의 점 a에서 점 0까지의 거리는 숫자 a의 절댓값입니다. (a는 실수입니다.) 음수의 절댓값은 그 자체이고, 음수의 절댓값은 그 반대입니다.
개요:
- 만약에
- 만약에
- 만약에
- 만약에
자연
- 모든 숫자의 절댓값은 음수가 아닙니다.
- 일반: 모든 a ∈ R에 대해
구체적으로:
일부 속성
- 같거나 반대인 두 수는 절댓값이 같고, 반대로, 절댓값이 같은 두 수는 같거나 반대입니다.
개요:
- 모든 숫자는 그 절대값의 반대보다 크거나 같고, 동시에 그 절대값보다 작거나 같습니다.
개요: 및
- 두 개의 음수가 있을 때, 작은 쪽의 절댓값이 더 큽니다.
개요: 만약
- 두 개의 양수 중에서 작은 쪽의 절댓값이 더 작습니다.
개요: 만약
- 곱의 절댓값은 절댓값의 곱과 같습니다.
개요:
- 몫의 절댓값은 두 절댓값의 몫과 같습니다.
개요:
5. 실수에 대한 예제 연습
예 1: 빈칸에 적절한 기호 ∈, ∉, ⊂ (…)를 채우세요.
3 …. 큐; 3 …. 알 ; 3… 나 ; -2.53… Q;
0.2(35) …. 나 ; N …. 지 ; 나 …. 아르 자형.
지시하다
a) 3 ∈ Q ; 3 ∈ R ; 3 ∉ 나 ; -2.53 ∈ Q
b) 0.2(35) ∉ I ; N ∈ Z ; 나 ⊂ R
예제 2: 집합 찾기
a) Q ∩ I ;
b) R ∩ I.
지시하다
a) Q ∩ I = Ø ;
b) R ∩ I = I.
예 3: (…)에 적절한 숫자를 넣으세요.
a) – 3.02 < –="" 3,="" …="">
나) – 7.5 … 8 > – 7.513
다) – 0.4 … 854 < –="">
d) -1, … 0765 < –="">
지시하다
a) – 3.02 < –="">
b) – 7,508 > – 7,513 ;
c) – 0.49854 < –="" 0.49826="">
d) -1.90765 < –="">
예제 4: 다음을 알고 x를 찾으세요.
3.2.x + (-1.2).x +2.7 = -4.9;
지시하다
3.2. x + (-1,2).x + 2,7 = -4,9
[3,2 + (-1,2)].x + 2,7 = -4,9.
2.x + 2.7 = – 4.9.
2.x = – 4.9 – 2.7
2.x = – 7.6
x = -7.6 : 2
x = -3.8
실수 외에도 제곱수 , 무리수, 유리수 , 소수 , 자연수 등 수학의 다른 정의에 대해서도 더 자세히 알아볼 수 있습니다 .
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